最近研究了下零知识证明算法-PLONK。肚子里的墨水又增加了，记一下学习成果与新的体会，和大家共同学习---江小白。
现状
近些年，各种新的零知识证明算法层出不出，各有各的特点，各有各的优势。借用V神系列文章里的一张图来简单呈现下当前的零知识证明算法现状。
从图中可以简单总结出以下几点：
理论上安全性最高的是STARKs算法，不依赖数学难题假设，具有抗量子性；Proof大小上最小的是SNARKs算法，如Groth16;PLONK算法在安全性上和Proof大小上，位于上述两者之间；其他的这里不做过多阐述，如想了解零知识证明更多信息，可参考链接；对于SNARKs算法，绕不开的一个点就是中心化的TrustSetup，也称之为CRS(theCommonReferenceString)。而无论是PGHR13,Groth16,还是GM17算法，它们的CRS都是一次性的，不可更新的。即，不同的问题将对应着不同的CRS，这在某些场景下，会变得比较麻烦。这些存在的问题，变成了PLONK，SONIC这类算法的一个优势，它们算法虽然也需要中心化的可信设置，但是它的CRS具有一定的普适性。即，只要电路的大小不超过CRS的上限阈值，一些证明问题就可以共用一个CRS，这种CRS称之为SRS(universalStructuredReferenceString)，关于SRS的定义，详细的可参考SONIC协议里的第3小节。PLONK算法继用了SONIC算法的SRS的思想，但是在证明的效率上，做了很大的提升。接下来，让我们详细的介绍下PLONK算法的具体细节，主要从下面四个小节去分享：
墨西哥国立自治大学增加加密货币学习课程:拉丁美洲最大的大学墨西哥国立自治大学(UNAM)将推出一门金融工程课程，该课程的模块涵盖加密货币等科目。全日制学生的新课程将持续两学期，非全日制学生需要参加四学期，该课程将让学生了解加密货币如何在金融市场上使用。（CryptoNews）[2020/12/16 15:20:45]
电路的设计--描述PLONK算法的电路的描述思想；置换论证或者置换校验--复制约束，证明电路中门之间的一致性；多项式承诺--高效的证明多项式等式的成立；PLONK协议--PLONK协议剖析；电路
PLONK算法电路的描述和SONIC算法一直，具体的过程可以参考李星大牛的分享，已经写的比较详细且易懂。在这个小篇幅里，我想主要分享下我自己的两点想法：
无论是什么样的电路描述方式，电路的满足性问题都要归结于2点，门的约束关系和门之间的约束关系成立；在SNARKs系列的算法里，电路的描述单元都是以电路中有效的线为基本单元，具体的原理可以参考我之前分享的文章，而在PLONK，SONIC以及HALO算法里，电路的描述单元都是以门为基本单元。这两种电路的不同描述方式带来了一定的思考。那就是，之前在研究SNARKs算法时，我们都已经相信一个事实，“多项式等式成立，就代表着每个门的约束成立”，然后推断，整个电路逻辑都是成立；在这个过程中，并没有额外的去证明门之间的一致性成立；但是在PLONK算法里，除了要证明多项式等式成立外，还要额外的用置换论证的数学方法去证明门之间的约束关系，即复制约束。为何会有这样的区别？希望有心的读者能一起在评论区探讨这个问题？我个人理解是因为电路的描述方式的不同：
《区块链+党政干部学习读本》在京发布:日前，由中共中央党校出版社出版的《区块链+党政干部学习读本》在京发布。《读本》详细介绍了区块链的概念、作用与现有实践的情况，政府和企业如何合理运用技术手段让数据这种新生产要素，在社会经济生活中发挥作用。（中国经济新闻网）[2020/9/14]
PLONK算法里，电路描述的单元是门，它为每个门定义了自己的L,R,O，因此需要证明门之间的一致性；SNARKs算法里，电路描述的单元是线，门与门之间的值用的是同一个witness，因此不用额外证明一致性；置换论证
前面我们说过，在PLONK算法里，需要去证明门之间的约束关系成立。在做具体的原理解释之前，我们先简单的过一下PLONK协议的过程，如下图所示：
可描述为：
根据电路生成三个多项式，分别代表这电路的左输入，右输入，输出；利用置换校验协议，去证明复制约束关系成立；步骤3和4，校验门的约束关系成立。其中第1点已经在电路小节里阐述过了，接下来，将详细的讲解多项式置换校验的原理。先从简单的场景去讲解：
声音 | 扎克伯格：在Libra正式启动之前仍有许多事情需要学习 我们将找到最佳的前进方式:今日，Facebook创始人扎克伯格（Mark Zuckerberg）在其个人Facebook主页上发文表示：今天，Facebook和世界上27个组织一起成立了非营利性的Libra Association，并创造了一种名为Libra的新货币。Libra的使命是建立一个简单的全球金融基础设施，为世界各地数十亿人提供动力。它由区块链技术提供动力，计划在2020年发布。 隐私和安全将融入（Libra项目的）每一步。例如，Calibra将有一个专门的风险管理专家团队，专注于防止人们出于欺诈目的使用Calibra。我们会提供保护，所以如果你丢失了Libra货币，我们会提供退款。我们也相信，让人们有选择是很重要的，所以你有机会在Libra网络上使用许多第三方钱包。 在Libra正式启动之前，还有很多需要学习和做的事情。我们知道这是一项重大的任务和责任，我们致力于把它做好。我们一直在与金融包容、经济、安全、隐私和区块链等领域的政策制定者和专家合作，我们将继续听取他们的反馈，以找出最佳的前进方式。我们感谢他们的合作，感谢Libra Association的所有企业、组织和学术机构。[2019/6/18]
单个多项式的置换校验
动态 | 未来大学智慧学习工场旨在推动区块链等新技术支撑下的产教融合创新:据中国经济网报道，由教育部学校规划建设发展中心和国研智库共同发起，国家新一代人工智能战略发展研究院、国家超级计算天津中心、天津大学、南开大学、联合国和平大学等相关机构合作设立的产学研协同创新平台——未来大学智慧学习工场，旨在推动区块链等新技术支撑下的产教融合创新，探索我国应用型人才培养模式和现代职业教育体系。[2018/12/26]
其实就是证明对于某个多项式f，存在不同的两个点x,y，满足f(x)=f(y)。下面来看具体的原理：
上图中加入了一个正例P，一个反例A，方便大家理解置换校验的原理。有几点需要解释的是：
而经过仔细剖析Z的形式，不难发现，Z(n+1)其实就是两个函数所有值的乘积的比值(不知是否等同于V神文章里的坐标累加器？)。理论上是等于1。因此，我们需要设计这样的一个多项式Z，需满足：deg(Z)<n
上交所前总工白硕：数字货币交易所应向传统交易所学习:上交所前总工白硕近日在接受采访时表示，数字货币交易所系统的安全性，运维能力和应急能力，甚至说出事之后对外的话数，各个方面都应该向传统交易所学习。现在太随意了，某种意义上有点像游戏网站，就是说它对客户的态度就像是游戏网站出了事之后的应对方式一样，但是正经的金融机构可不是这样的。另一方面，传统交易所在监管之下是不敢作假交易的。但是我们看虚拟货币的交易所，虽然我们无法证实，但确实有这样的传闻。如果采用去中心化的交易所，也许在链上的交易是可以被见证的，这个问题就会消除掉。[2018/4/21]
Z(n+1)=1
2.乘法循环群刚好可以满足这个条件，如果设计一个阶为n的一个乘法循环群H，根据群的性质可以知道Z(g)=Z(g^(n+1))。因此，在设计Z时，会保证Z(g)=1；上图中的自变量的取值也将从{1...n}变成{g...g^n}。所以在上图中验证的部分，a其实已经换成了群H里的所有元素。
3.根据论文中的协议，多项式Z是会发给可信第三方I验证方V会从I处获取到多项式Z在所有a处的取值，然后依次校验。
下面具体看一下论文中的定义：
从定义中可以看出：多项式f,g在范围内具有相同的值的集合；下面看一下论文中具体的协议部分，结合上述解释的3点：
说明：图4中的f,g对应图3中的f。即f,g是同一个多项式。其实只要是相同的值的集合，也可以不用于是同一个多项式。图3是一个特例而已。
跨多项式的校验
其实就是证明对于某个多项式f，g，存在两个点x,y，满足f(x)=g(y)。与存在两处不同：
多个多项式；不强制x,y的关系，即也可以等，也可以不等；有了(1)小节的基础，这次我们先看一下相关的定义：
从定义可以看到，这次是两个多项式集合见的置换校验算法。从标注的部分可以看出：
两个多项式集合仍然具有相同的值的结合；为了区分集合里的多项式，自变量的索引得区分开来；因此，可以想象的到，如果存在两个多项式f,g，想要证明f(x)=g(y)，那么根据以上描述可以判断{f1,f2}={f,g}={g1,g2}。也保证了上述第1点的成立。
下面我们看一下具体的原理：
和(1)小节相比，证明方P增加了些工作量，验证方V工作量不变。结合上述描述，也能很容易的理解其数学原理。
说明：至此，其实我们已经慢慢的接触到PLONK算法的核心了，前面我们讲到，电路的满足性问题除了门的约束关系还有门之间的约束关系。
比如一个输入x，它既是一个乘法门的左输入，又是另外一个乘法门的右输入，这就需要去证明L(m)=R(n)，这就是跨多项式的置换校验。
下面再给出论文里的协议内容：
至此，本篇文章已经描述了，在PLONK算法里，电路的设计以及复制约束的成立验证两大部分，接下来，将会另起一片文章，去分享门约束的成立和整个协议的具体步骤。
以上都是作者小白的个人理解，还希望各位读者多多指教，谢谢。
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