前言
上一篇文章中，我们在"F_101"上找到了17个点满足椭圆曲线方程，他们构成一个循环。那么在"F_101"中元素作为坐标的点中还有没有其他的点也满足方程呢？换句话说，上篇文章列出的17个点是不是就是满足方程的全部的解呢？并非如此，比如可以验证(3,38)也满足椭圆曲线的方程，但是他不是上面17个点中的一个。另一个子群
实际上，我们甚至可以通过将(6,44)作为生成元来得到一个102个元素的循环群，这个循环群涵盖了曲线在"F_101"上的全部点。但是，曲线在"F_101"上的循环周期为17的循环群却只有中篇列出的一个，也就是说在"F_101"上讨论的话，循环周期为17的点已经被我们全部找到了。
在中篇中，我们也提到数域的扩张会直接影响我们需要讨论的点的多少，那么如果我们对"F_101"进行扩张，是否能够得到更多的循环周期为17的点呢？METASTATE的博客中给出这样一个例子，我们将用这个例子说明这个命题的真假。首先我们选择满足j^2mod17=15的j用于对"F_101"的扩张，过程就像我们上一篇文章中进行的那样，扩张后的域记为“F_101的二次扩域”。在这个扩张下，我们可以找到另一个循环周期为17的群，下面的表格列出这个群的全部元素：
黑客在多个Worldcoin Orb运营商的设备上安装了窃取密码的恶意软件:金色财经报道，黑客在多个Worldcoin Orb运营商的设备上安装了窃取密码的恶意软件，使他们能够完全访问Worldcoin运营商的仪表板。Worldcoin发言人Jannick Preiwisch表示，“一项内部调查得出结论，没有敏感或个人用户数据被访问或泄露。Orb操作员永远无法访问任何敏感数据，并且任何生物识别数据捕获在静态和传输中都是加密的。”
Preiwisch补充说，“我们认真对待有关我们系统安全性和完整性的任何和所有索赔，并在收到对此类问题的询问后立即进行调查，出于“高度谨慎”，该公司已重置Worldcoin运营商的所有登录信息，并加快了Worldcoin运营商应用程序2FA的推出。”[2023/5/13 15:00:27]
专家：区块链发展应以密码应用创新为根基:清华大学计算机科学与技术系霍炜博士表示，我国在区块链核心技术方面与发达国家还有一定差距，基于自主密码和自主代码的区块链平台研发与应用还较为欠缺。密码是区块链的核心技术和基础支撑，为保障区块链在各领域的安全有序应用，必须依法依规加强区块链密码应用管理，积极推动区块链密码自主创新，夯实筑牢区块链的安全基石和信任纽带。密码技术创新是区块链核心技术自主可控的根本，有助于提升区块链运行效率。（经济参考报）[2021/1/14 16:06:44]
我们随机选择(66,0+23j)这个元素来验证其满足曲线方程：
左侧：y^2mod101=^2mod101=23×15mod101=42
右侧：x^3+3mod101=41^3=3mod101=42
左侧等于右侧，验证完毕。
全球有300万-500万个比特币因密码遗忘等原因而丢失:瑞士在线银行瑞讯银行（Swissquote Bank）数字化资产处处长表示，全球有300万-500万个比特币因密码遗忘和挖矿基础设施受损而丢失。（金十）[2020/12/28 15:52:37]
在发现通过域扩张后还能找到更多的17阶点后，我们不禁会想：
继续对”F_101的二次扩域”进行扩张，能否找到更多的17阶点呢？
或者是：为了找到全部的17阶点，我们需要对F_101进行几次扩张呢？
嵌入度其实就是描述这个问题的一个概念。E是定义在F_101上的椭圆曲线，我们已经有一个包含n=17个点的子群，我们称这个子群的嵌入度是满足17整除q^k-1的最小的k。在这个例子中，k=2。计算嵌入度的价值在于事实证明，当对F_101进行扩张以期其上的椭圆曲线包含全部17阶点时，最小的扩张次数就等于嵌入度。也就是说在”F_101的二次扩域”上，我们已经找到全部的17阶元素。
声音 | 观点：密码学人才短缺，影响了马来西亚的区块链发展:私人投资公司MW Partners Group Holdings Pte Ltd顾问Mark Pui表示，密码学领域的人才短缺，拖累了马来西亚数字账本技术的发展。
Mark声称：“我认为，现实是我们没有密码技术，这影响了我们领导区块链技术发展的能力。在马来西亚和全世界，区块链技术的应用仍然有限。但在发展方面，我们落后于其他所有人，因为我们没有技能，没有深厚的密码学技能。”（The Malaysian Reserve）[2019/11/29]
Millier循环
下面给出计算双线性映射的Millier算法，当计算e(P,Q)时，该算法根据P的坐标创建一个二元多项式，然后将P坐标的x和y分量带入求值：
声音 | 国家密码管理局霍炜：加强密码技术与区块链等新兴技术的融合创新:据经济参考报消息，近日国家密码管理局商用密码管理办公室副主任霍炜表示，要紧盯前沿技术，通过密码技术与前沿技术的深度融合和协同创新，引领信息领域关键核心技术的创新与突破，包括布局与量子技术、云计算、大数据、物联网、人工智能、区块链等新兴技术的融合等。[2018/9/13]
METASTATE的博客中作者已经计算了e((1,2),(90,82u))点的结果为97+89j。我们给出另外一个计算的例子，并且稍后通过对比这两个例子的结果说明双线性对的一些属性。
其中f_17是二元的多项式，通过一个称为Millier循环的过程我们可以生成该多项式，这个过程类似于计算指数运算时的mul-and-square操作。但是为了更直观的展示原理，我们选择根据上文定义直接展开计算f_17，这会增加一些计算量。
因此我们需要计算
的表达式。通过查询上一篇文章的列表我们可以找出P，±2P，±4P，±8P,±16P的值,其中P=(12，32)=5G：
接下来我们来计算这些直线的方程：
这样我们已经可以计算f_17的结果：
最后我们计算(81+52j)^600
完全解决curve101配对问题
实际上，我们可以计算出GT的生成元e(G1,G2)，也就是e((1,2),(36,31j))，其值为7+28j。这样我们能够完全掌握GT中全部的元素：
可以看到GT也是一个循环群，他其实是在“F_101的二次扩域”上满足方程x^17=1的17个根。根据该表我们不加以计算就可以知道这个配对的任何一个计算结果，例如e((12,32),(36,31u))=e(5G1,G2),因此其值就是上表的第5个元素：93+25j。我们之所以能够完全解决curve101的配对问题，是因为curve101的一系列参数决定其足够简单，而实际零知识证明算法中使用的配对就要复杂很多。例如一些标准中要求其配对曲线的嵌入度至少为12，这意味着GT的元素至少是基础素域的12次扩张！如果其素域特征为常见的256位，那么为了表示一个GT元素就需要256*12/8=384字节的大小。对于任何一个实际使用的曲线，其计算复杂度和规模都使我们当前绝无可能计算出其映射表，这也是离散对数问题困难的所在。
通过系列文章，我们计算了一个简单的配对曲线，加深了对双线性映射的理解。后续，我们继续使用这个配对曲线来讲解和演示零知识证明中Groth16算法的过程和原理，敬请期待。
乔沛杨趣链科技基础平台区块链底层密码学小组
郑重声明： 本文版权归原作者所有， 转载文章仅为传播更多信息之目的， 如作者信息标记有误， 请第一时间联系我们修改或删除， 多谢。