前言
前文《天冷了,干了这碗“零知识证明”鸡汤》对「零知识证明学习」作了一个形象化的比喻:炖鸡汤。那么本系列的主要内容可以简单概括为《论高压锅炖鸡汤的一百种方法》之方法二。在学会了“清炖鸡汤”之后,不如来一口“阿胶鸡汤”补补脑细胞吧!
正如鸡汤不同风味之间各具千秋,不同的zk-SNARK方案也各有所长。zk-SNARK方案可以被分为与zk-SNARK,PLONK与Groth16分别是其中的典型代表。通过本系列,我们将对PLONK算法内容作简要介绍,并指出PLONK和Groth16算法思路上的异同。
PLONK算法在中提出,由来自于ProtocolLabs的研究员Gabizon和以太坊隐私交易协议AztecProtocol的两名研究人员合作完成。PLONK的提出晚于Groth16,在证明和验证的性能上与Groth16也存在一定差距,但是基于通用可更新的可信设置这一特点,使PLONK算法在零知识证明领域占据了一席之地。
可信设置
可信设置可以说是PLONK和Groth16两者间最显著的差异。正是为了避免一次性的可信设置,PLONK设计了后续的约束系统和问题压缩方式。那么什么是零知识证明中的可信设置呢?可信设置实际上是在创建一个用于证明验证的秘密,任何知道这个秘密的人都可以伪造证明通过验证。如果将零知识证明看作是一扇挡在证明者a和验证者b之间上锁的门,那么合法构建的证明就是可以打开门的口令,a提供口令即可进入房间。但是如果a得知了门的秘密也就是房间窗户的位置,那么a可以直接无视锁的存在翻窗进入房间。
21Shares和ETF证券在澳大利亚推出比特币和以太坊ETF:4月20日消息,21Shares和澳大利亚资产管理公司ETF Securities宣布将于4月27日推出两只交易平台交易基金(ETF):ETFS 21Shares Bitcoin ETF和ETFS 21Shares Ethereum ETF,将分别以澳元跟踪BTC和ETH的价格并在芝加哥期权交易平台CBOE进行交易。(prnewswire)[2022/4/20 14:35:06]
▲无窗的房间
显然,最安全的做法是找一个「没有窗的房间」,这也是一部分零知识证明方案的思路——无需可信设置,例如可扩展透明知识论证zk-STARKs和防弹证明Bulletproofs。虽然它们的安全性得到提高,但是目前这类方法的证明验证性能是远低于zk-SNARKs的,近线性的验证和规模较大的证明使其不适用于很多场景。
▲窗户位置指定策略
PLONK和Groth16的做法都是保留窗户,但是尽力保护窗户的位置不被别人知道。
Groth16的做法是:根据不同的问题,每次都指定窗户在房间中的摆放位置,也就是它需要一次性的可信设置。而PLONK面对不同的问题时:窗户的位置是固定不变的,即窗户的位置只需要被指定一次。也就是说PLONK的可信设置是通用的。那么这些窗户指定的位置由谁来确定呢?当然,可信第三方是一个备选项。但这意味着说这间房间是否会被恶意证明者攻破,其安全性寄希望于这位第三方。除此之外还有一项热门技术也可为其提供思路——多方安全计算。沿用之前的例子,可以不太严谨地将MPC概括为:多个人共同指定窗户的位置,除非这些参与者全部联合起来对答案,这个位置将无法由任何人得知。
以太坊未确认交易为204,073笔:金色财经消息,据OKLink数据显示,以太坊未确认交易204,073笔,当前全网算力为698.10TH/s,全网难度为9.45P,当前持币地址为64,645,873个,同比增加122,877个,24h链上交易量为1,318,494ETH,当前平均出块时间为13s。[2021/10/9 20:17:00]
显然,使用MPC时,参与者的数量越多,秘密的安全性越高,这类可信设置也比可信第三方更为用户所接受。遗憾的是,虽然目前提出了基于Groth16的可信设置,但是由于Groth16的秘密计算与特定的问题相关联,每次遇到新的问题时,必须重新开启一轮MPC可信设置。可想而知,需要多方参与的计算协议将是极为繁琐的,这样将大大影响Groth16的性能。相比之下,具备通用性的PLONK与MPC的适配度极高。
而之前提到的PLONK可信设置的可更新性则是指:通用的PLONK秘密可以通过再开启一轮MPC作更新。新生成的秘密安全性建立在两次MPC的安全性上,只要两次中有一个参与者是诚实的,这个秘密就是可信的。约束系统
Groth16及PLONK均将程序先转化为一个由加法门和乘法门组成的算术电路,再通过将电路构建为多项式的形式来进行后续的计算。本节我们将使用Vitalik文章中的一个简单例子进行说明:
声音 | MakerDAO创始人:比特币和以太坊市场依赖于中心化基础设施:金色财经报道,MakerDAO创始人Rune Christensen近期接受采访时表示,DeFi目前只存在于加密的泡沫中,尽管它也可以在未来为发展中国家的人们提供小企业贷款,而不是完全切断他们与金融系统的联系。他还谈到,随着MCD的推出,Maker已经成为一个完整的程序包,在此基础上可以不受任何限制地构建DeFi。当被问及为何将代币化的贷款或证券纳入其中,而这些贷款或证券与Maker和DeFi所持的无许可和去中心化的理念背道而驰时,Christensen回答道称,关键是风险多样化。他还解释称,从监管的角度来看,比特币和以太坊市场完全依赖于中心化的基础设施,而比特币的价格是基于中国和美国的少数中心化交易所。[2019/11/21]
对于程序qeval,prover需要证明自己知道qeval(x)=35的解,即x=3。
defqeval(x):
y=x**3
returnx+y+5,其转化为算术电路可表示如下:
声音 | 以太坊核心开发人员:以太坊硬分叉升级定于区块高度7080000进行:以太坊核心开发人员Péter Szilágyi发推特称,以太坊君士坦丁堡硬分叉定于区块高度7080000进行,时间估计在2019年1月16日。[2018/12/8]
PLONK中,上图电路的描述由两部分组成:门约束与线约束。门约束固定电路中每个门的动作。此外,在电路中我们规定相连线的值应保持一致,对此线约束规定这些线的关系。接下来我们分别讨论两类约束的多项式表示。门约束
在PLONK中,对于第i个门,可被描述为如下形式:
(QLi)ai+(QRi)bi+(QOi)ci+(QMi)aibi+Qci=0
其中Q均为常数,a,b,c则是信号的下标。具体地,在PLONK中门约束可以被分为三类:算术约束、布尔约束、公共输入约束。
最为常见,用于表示电路中的所有加法门和乘法门,此时a,b,c分别表示门的左右输入和输出信号下标,Q_C一般为0。根据门的类型剩余的符号有不同的取值:
加法门:QLi=1,QRi=1,QOi=-1,QMi=0??ai+bi-ci=0乘法门:QLi=0,QRi=0,QOi=-1,QMi=1-ci+?aibi=0
顾名思义,用于约束布尔类型的信号,其值只能取0或1。例如现在需要约束下标为j的信号∈{0,1},那么门约束式子中各变量的取值为:
ai=bi=j,QLi=-1,QMi=1,QOi=QRi=Qci=0
-j+j*j=0
另外,针对问题中出现的证明方和验证方都知道取值的输入,需要在约束系统中有所体现。例如要求约束下标j的信号取值为v,对应的取值为:
ai=j,QLi=1,QMi=QOi=QOi=0,Qci=-v
j-v=0
利用该式,我们可以很容易地表示上图中的所有门约束:
与Groth16类似,可以将所有的多项式组整合在一个多项式中:
线约束
线约束可以分为两种情况:
同一多项式内部,例如:a1=a3
不同多项式之间,例如:a1=b1
当只需要考虑情况1时,可以通过构造p(x)=P(x)来实现约束:
X(X)=X
p(X+1)=p(X)*(β*X(X))+Y(X)+γ)
P(X+1)=P(X)*(β*X(σ(X))+Y(X)+γ)
p(0)=P(0)=1
其中β,γ为随机数,X->Y表示了待约束的多项式,P(x)使用了x的置换σ(x)。对于下面例子:
X(1)→Y(1)
X→Y:X(2)?→?Y(2)?and,Y(1)=Y(3)
X(3)→?Y(3)
σ(1)=3
σ(X):σ(2)=2
σ(3)=1
当且仅当Y(1)=Y(3)成立时,p(x)=P(x)。
现在,让我们增加问题的复杂度:需要约束的多项式个数为k时。自然地,设门的总数为n,我们可以对第j个多项式构造对应的p_j(x)=P_j(x),即
进一步地,情况2的出现要求对以下情况中的x作区分:
pj(x)and?pi(x)????
那么可以增加对x的映射,对于第j个多项式:
X(X)=(j-1)*n+X
p(X+1)=p(X)*(β*X(X))+Y(X)+γ)
P(X+1)=P(X)*(β*X(σ(X))+Y(X)+γ)
p(0)=P(0)=1
以上就是线约束的全部内容,其实质是为了保证电路中同一条或相连线上的值相等。
与Groth16类似,将上述的约束联立将得到一个完整的PLONK约束系统。通过将抽象的代码和电路转化为约束系统R1CS,我们可以将一个零知识证明问题固定下来。让我们带着问题进入下篇:PLONK中如何将R1CS转为多项式描述?它与Groth16做法区别在何处?敬请期待!
ArielGabizonandZacharyJ.WilliamsonandOanaCiobotaru.(2019).PLONK:PermutationsoverLagrange-basesforOecumenicalNoninteractiveargumentsofKnowledge.
SeanBoweand?ArielGabizonandIanMiers.(2017).ScalableMulti-partyComputationforzk-SNARKParametersintheRandomBeaconModel.
https://vitalik.ca/general/2019/09/22/plonk.html
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