Ed25519 是一个基于椭圆曲线的数字签名算法，它高效，安全且应用广泛。TLS 1.3, SSH, Tor, ZCash, WhatsApp 和 Signal 中都使用了它。本文主要讲解以下几点：
1. 介绍一点群论知识，目的是让大家对 Ed25519 和其可延展性问题的原理有一种直觉。若想深入理解，还需参考其他资料；
2. 针对 rust 库 ed25519-dalek 的 1.0.1 版本讲解 ed25519 的实现；
3. 针对该库的延展性问题做出解释。
数学要点回顾
群的定义与性质
群论是抽象代数研究的内容，但抽象代数的一些思想是程序员非常熟悉的。面向对象中的继承就是一个很好的例子，我们都知道子类继承了父类后，就能使用父类中定义的方法。可以将抽象代数理解为对一个抽象的数据结构定义了一些性质，由这些性质推导出来的定理对于所有的子类都成立。
慢雾：JPEG'd攻击者或已将全部6106.75枚ETH归还给项目方:8月4日消息，慢雾MistTrack监测显示，JPEG'd攻击者或已将全部6106.75枚ETH归还给项目方。[2023/8/4 16:18:46]
沿用刚刚的比喻，来看看群（group）这个数据结构是如何定义的。
由此可以推出许多有意思的定理：
举几个例子：
慢雾：区块链因黑客攻击损失总金额已超300亿美元:金色财经报道，据慢雾统计数据显示，自2012年1月以来，区块链黑客造成的损失总金额约为30,011,604,576.24美元；黑客事件总数达到1101起。
其中Exchange、ETH Ecosystem、Bridge是在黑客攻击中损失最大的类别，损失金额分别为10,953,323,803.39美元、3,123,297,416.28美元，2,005,030,543.30美元。另外合约漏洞、Rug Pull、闪电贷攻击是最常见的攻击方式，分别发生黑客事件137起，106起，87起。[2023/7/7 22:24:09]
拉格朗日定理
现在介绍一个非常有意思的定理，这个定理的推导在文末引用的视频中。
慢雾：近期出现新的流行恶意盗币软件Mystic Stealer，可针对40款浏览器、70款浏览器扩展进行攻击:6月20日消息，慢雾首席信息安全官@IM_23pds在社交媒体上发文表示，近期已出现新的加密货币盗窃软件Mystic Stealer，该软件可针对40款浏览器、70款浏览器扩展、加密货币钱包进行攻击，如MetaMask、Coinbase Wallet、Binance、Rabby Wallet、OKX Wallet、OneKey等知名钱包，是目前最流行的恶意软件，请用户注意风险。[2023/6/20 21:49:05]
“群的阶能被子群的阶整除。”
为什么说这个定理有意思呢，不仅仅因为它的证明过程串起了刚刚介绍的许多知识，还因为下面的结论：
慢雾：警惕高危Apache Log4j2远程代码执行漏洞:据慢雾安全情报，在12月9日晚间出现了Apache Log4j2 远程代码执行漏洞攻击代码。该漏洞利用无需特殊配置，经多方验证，Apache Struts2、Apache Solr、Apache Druid、Apache Flink等均受影响。Apache Log4j2是一款流行的Java日志框架，建议广大交易所、钱包、DeFi项目方抓紧自查是否受漏洞影响，并尽快升级新版本。[2021/12/10 7:30:00]
Ed25519 的实现
现在我们来讲 Ed25519，它是 EdDSA 算法的其中一种。EdDSA 有 11 个参数（https://datatracker.ietf.org/doc/html/rfc8032#autoid-3），这些参数的具体选择对于算法的安全和性能有很大的影响。Ed25519 的具体选择请参看链接（https://datatracker.ietf.org/doc/html/rfc8032#autoid-9）。
另外，值得一提的是这套算法用到了一个叫 Curve25519（https://datatracker.ietf.org/doc/html/rfc7748#autoid-5）的椭圆曲线。对于椭圆曲线，我们只需知道，它上边有很多很多点，这些点相加能得到新的点，新的点还是在曲线上。这些点和这个加法能形成一个群。注意这里的椭圆曲线加法（https://www.wikiwand.com/en/Elliptic_curve_point_multiplication）是有特殊定义的。
我们约定如下记法：
这是个交互式的算法，但是没关系，有一个技巧叫做 the Fiat – Shamir heuristic（https://link.springer.com/chapter/10.1007%2F3-540-47721-7_12），它可以把任意的交互式算法转化成非交互式的算法。最终我们会用非交互式算法。
数字签名算法都会给我们如下 API：
密码学算法的实现和使用都有非常多要注意的地方。当我们说一个数字签名算法是安全的，一般指的是即使在攻击者能够获得任意消息的签名（Chosen Message Attack）的情况下，攻击者仍然不能伪造签名。Ed25519 满足这个性质，但不代表 Ed25519 是绝对安全的。在原始的论文中也提到，可延展性问题是可以接受的，且原始的算法就有这个问题。
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