前言
Bulletproofs，又一个有意思的零知识证明算法，相信读者已经很熟悉它了。和zk-snark相比，它不需要可信设置；和zk-stark算法相比，它具有较小的proofsize。根据论文，它有两个方面的应用：1.用于rangeproof；2.用于一般算术电路的零知识证明。下面，让我们先看一下Bulletproofs是如何高效的实现第一点。
Rangeproof
1.?预备知识
aL：表示向量{a1,a2……an}
2n：表示向量{20,21…2n-1}
<a,b>：表示向量内积∑ai*bi，结果是一个值
aob：向量对应位相乘，{a1*b1……an*bn}，结果是一个向量
2.?证明
Alice想要证明
v?
=>则，需要证明一个relation得成立，如下所示：
{：V=grhv^v?}
public-x??????????witness-wrelation-R
即，对于公开信息x，Alice有隐私信息w，使得关系R成立。
令aL为金额v的在范围内的二进制形式，则aL={a1,a2……an}?{0,1}n，且满足<aL,2n>=v。因此，证明者需要证明以下几个等式相等：
北京将建立运用区块链等技术的数据金融科技平台:9月7日，《北京国际大数据交易所设立工作实施方案》正式发布，确定了北京国际大数据交易所的五大功能定位，其中包括新技术驱动的数据金融科技平台。北京市金融监管局副局长郝钢介绍，建立新技术驱动的数据金融科技平台，充分运用区块链等多方安全计算等技术，发挥交易所线上交易、智能评估、智能撮合和风险提示的功能。（21世纪经济报道）[2020/9/8]
V=grhv????(1)
<aL,2n>=v???(2)
aLoaR=0n??(3)
aR=aL-1n???(4)
等式(1)确保了承诺V和金额v的绑定关系，等式(2)确保了v的范围，等式(3)(4)确保了a
L元素只属于{0,1}。等式(2)/(3)/(4)总共包含了2n+1个约束，其中公式(2)1个，公式(3)(4)各n个。接下来，为了效率，我们需要把2n+1个约束转换成1个约束。
3.?2n+1个约束转换成1个约束
=>预备：从Zp中任意选择一个数y，则b=0n是等式<b,yn>=0成立的充分条件；因为当b!=0n，等式成立的概率仅有n/p，p是有限域，远大于n。因此，如果有<b,yn>=0，那么验证者愿意相信b!=0n。
利用这个理论，我们把等式(2)/(3)/(4)做以下转换：
韩国釜山港将开发基于区块链技术的货物控制和综合运营平台技术:韩国釜山市宣布，“构建智能型无人自动化智能物流系统”项目被科学技术信息通讯部公开招募项目选定，将在未来5年内开发原创技术和商用化技术。到2024年，该项目耗资14,218亿韩元，釜山港公司等9家公司被选为主要组织。该项目将推进釜山港为自主行驶费用的核心传感器国产化技术和物流中心物流装备的远程控制和无人自动化技术的开发。另外，还将以釜山地区大型物流据点为中心，开发以区块链技术为基础的货物管制、综合运营平台技术。（韩联社）[2020/7/6]
1.验证者随机选取一个数y发送给证明者；
2.证明者要证明：
<aL,2n>=v(5)
<aL,aRoyn>=0???????(6)
<aL-1n-aR,yn>=0???(7)
同理，等式(5)确保了v的范围，等式(6)(7)确保了a
L元素只属于{0,1}。此时2n+1个约束转换成3个约束，接下来，还需要做进一步的处理：
1.验证者随机选取一个数z发送给证明者：
2.证明者利用z对公式(5)(6)(7)进行线性组合，得到如下公式：
z2*<aL,2n>+z*<aL-1n-aR,yn>+<aL,aRoyn>=z2*v???(8)
动态 | 广东华兴银行融合区块链技术，提升人民币跨境清算效率:广东华兴银行通过提供人民币跨境支付系统（CIPS）跨境人民币区块链清算服务，融合科技金融区块链技术，保障交易路径公开透明且不可篡改；缩短跨境人民币清算路径，清算服务时间由8小时延长至11小时，大力提升人民币跨境清算效率。（中国金融新闻网）[2019/5/31]
至此，我们已经把2n+1个约束转换成1个约束。下面我们对公式(8)做进一步的优化，把三个点积优化成1个点积
4.?三个点积优化成1个点积
=>z2*<aL,2n>+z*?<aL-1n-aR,yn>+<aL,aRoyn>=z2*v
=><aL,z2*2n>+<aL,z*yn>-<z*1n,yn>-<z*aR,yn>+<aL,aRoyn>=z2*v
=><aL,aRoyn+z*yn+z2*2n>-<z*1n,yn>+<z*1n,ynoaR>=z2*v
=><aL,aRoyn+z*1noyn+z2*2n>-<z*1n,yn+ynoaR>=z2*v
=><aL,(aR+z*1n)oyn+z2*2n>-?<z*1n,yn+ynoaR>=z2*v
声音 | 全国政协委员：要加快我国区块链技术的研发应用:7月10日，全国政协在北京召开“发展实体经济、提高供给体系质量”专题协商会。骆沙鸣委员在发言中表示，要加快我国区块链技术的研发应用，建立区块链工程研发中心和高端智库，有效提升政府经济治理能力和现代化水平，营造良好政商环境。[2018/7/12]
=><aL,(aR+z*1n)oyn+z2*2n>-?<z*1n,(aR+z*1n)oyn+z2*2n-z*1n*yn+yn-z2*2n>?=?z2*v
=>?<aL-z*1n,(aR+z*1n)oyn+z2*2n>-<z*1n,-z*1n*yn+yn-z2*2n>=?z2*v
=>?<aL-z*1n,(aR+z*1n)oyn+z2*2n>=z2*v+<z*1n,-z*1n*yn+yn-z2*2n>
=>?<aL-z*1n,(aR+z*1n)oyn+z2*2n>=z2*v+<z*1n,(-z*1n+1n)*yn>-<z*1n,?z2*2n>
=>?<aL-z*1n,(aR+z*1n)oyn+z2*2n>=z2*v+(z–z2)*<1n,yn>-z3*<1n,2n>???(9)
中钞区块链技术研究院院长张一峰：比特币、以太币等和货币的基本属性仍然有比较大的距离 :中钞区块链技术研究院院长张一峰在接受人民创投·区块链“益言议链” 高端系列专访时认为，数字货币，是指央行发行的法定数字货币，是以国家的信用做背书的。货币的三大职能，第一个就是价值尺度，首先需要保持币值的相对稳定性。像比特币，在过去一年里曾涨了近20倍，我们认为这种极不稳定的状态是不吻合货币属性特征的。张一峰认为，像比特币、以太币这些，叫虚拟货币也好，叫其他名称也好，持有者更多是为了投机，今天它表现出来的特征是一种投机资产，和货币的基本属性仍然有比较大的距离。但张一峰也表示，像比特币这些产物在未来时间里仍会不断的进化和演变，未来也可能会产生新的价格稳定机制，当然，比特币从技术和社会实践角度来讲，都是一种创新。[2018/3/30]
=>?令
L=?aL-z*1n
R=?(aR+z*1n)oyn+z2*2n
δ=?(z–z2)*<1n,yn>-z3*<1n,2n>
5.验证：
1.证明者把L/R/V发送给验证者；
2.验证者事先算好δ
3.验证者根据L算出来aL，根据<aL,2n>=v算出v
4.验证者根据L,R,v,δ验证等式<L,R>=z2*v+δ
因为y，z都是验证者提供，因此如果验证者如果能验证公式(9)成立，则相信等式(5)(6)(7)成立，则相信等式(2)(3)(4)成立，则相信v满足关系v?。
但是，可以看到上述过程，泄露了v的信息，因此需要一个零知识证明协议。
6.?一个零知识证明协议
由于L,R包含了v的相关信息，因此，我们需要添加两个盲因子s
L
、s
R来隐藏a
L，a
R。如公式(10)(11)所示：
l(X)=(aL-z*1n)+sL*X)??(10)
r(X)=(aR+z*1n+sR*X)oyn+z2*2n???(11)
此时，定义公式(12)
t(X)=<l(X),r(X)>=t0+t1*X+t2*X2???(12)
可以看出系数t
0是l(x)和r(x)常数项的乘积，即满足：
t0=<L,R>=z2*v+δ
因此，问题由证明：
<L,R>=z2*v+δ
转化成了，在任意一点x，验证者验证多项式值l(x),r(x),t(x)满足关系：
<l(x),r(x)>=t(x)
多项式值l(x),r(x),t(x)由证明者提供，为了保证l(x)，r(x)well-formed，即：
l(x)=(aL-z*1n)+sL*x)
r(x)=(aR+z*1n+sR*x)oyn+z2*2n
需要校验：
P=A*Sx*g(-z)*(h`)z*yn+z^2*2^n
=hαgaLhaR*(hρgsLhsR)x*g(-z)*(h`)z*y^n+z^2*2^n
=hαgaLhaR*?hρxgsL*xhsR*x*g(-z)*(h`)z*y^n+z^2*2^n
=hα+ρx*gaL+sL*x–z*1^n*haR+sR*x*(h`)z*y^n+z^2*2^n
=hα+ρx*gaL+sL*x–z*1^n*(h`)y^no(aR+sR*x)*(h`)z*y^n+z^2*2^n
=hα+ρx*gaL+sL*x–z*1^n*(h`)y^no(aR+sR*x)+z*y^n+z^2*2^n
=hα+ρx*gaL+sL*x–z*1^n*(h`)y^no(aR+sR*x+z*1^n)+z^2*2^n
=?hμgl(h`)r
=>当且仅当l/rwell-formed，等式成立
为了保证t(x)well-fromed，即：
t=t0+t1x+t2x2
需要校验：
=>gthτx=?Vz^2*gδ*T1x*T2x^2
=>gthτx=?(hrgv)z^2*gδ*(gt1)x*(hτ1)x*(gt2)x^2*(hτ2)x^2
=>gthτx=?hz^2*r+τ1*x+τ2*x^2*gz^2*v+δ+t1*x+t2*x^2
=>gthτx=?hz^2*r+τ1*x+τ2*x^2*gt0+t1*x+t2*x^2
=>t=?t0+t1*x+t2*x2&&τx=?z2*r+τ1*x+τ2*x2
=>当且仅当t和τxwelle-formed，等式成立
具体的协议流程图如下图所示：
总结
从上述流程可以看出，一次rangeproof，证明者需要发送总共{
l/r/t/
τ
x
/
μ
/T1/T2/A/S}个元素给验证者，总共2n+3个Z
p元素，4个G元素。下一篇文章将细讲，Bulletproofs如何将交互复杂度降低到对数级O(log(n))
附录
1.Bulletproofs论文：
chrome-extension://cdonnmffkdaoajfknoeeecmchibpmkmg/assets/pdf/web/viewer.html?file=https%3A%2F%2Feprint.iacr.org%2F2017%2F1066.pdf
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